Đáp án:
$MinP = 4 \Leftrightarrow \left( {a;b} \right) = \left( {1 + \sqrt 2 ; - 1 + \sqrt 2 } \right)$
Giải thích các bước giải:
Ta có: $a>b>0\to a-b>0$
Lại có:
$\begin{array}{l}
P = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{a - b}}\\
= \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2} + 4ab}}{{a - b}}\\
= a - b + \dfrac{{4ab}}{{a - b}}\\
= a - b + \dfrac{4}{{a - b}}\left( {Do:ab = 1} \right)\\
\ge 2\sqrt {\left( {a - b} \right).\dfrac{4}{{a - b}}} \left( {BDT - Cauchy} \right)\\
= 4\\
\Rightarrow MinP = 4
\end{array}$
Dấu bằng xảy ra
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a - b = \dfrac{4}{{a - b}}\\
ab = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {a - b} \right)^2} = 4\\
ab = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a - b = 2\left( {Do:a - b > 0} \right)\\
ab = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = - 1 + \sqrt 2 \\
a = 1 + \sqrt 2
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy $MinP = 4 \Leftrightarrow \left( {a;b} \right) = \left( {1 + \sqrt 2 ; - 1 + \sqrt 2 } \right)$
