Đáp án:
GTNN của M bằng ${{9 - \sqrt {85} } \over 2}$
GTLN của M bằng ${{9 + \sqrt {85} } \over 2}$
Giải thích các bước giải:
Theo bài ra ta có:
$\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{4{x^2} + {y^2} = 4} \cr
{{x^2} - 3xy + 2{y^2} = M} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{4M{x^2} + M{y^2} = 4M} \cr
{4{x^2} - 12xy + 8{y^2} = 4M} \cr
} } \right. \cr} $
Từ hệ trên suy ra:
${x^2}(4M - 4) + 12xy + M{y^2} - 8{y^2} = 0$
Coi phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn x
Xét trường hợp y = 0, phương trình trở thành:
${x^2}(4M - 4) = 0$
$\eqalign{
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = 0} \cr
{M = 1} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{M = 0(x = y = 0)} \cr
{M = 1} \cr
} } \right. \cr} $
Với y khác 0, chia cả 2 vế cho $y^{2}$ và đặt t = x/y ta được:
$(4M - 4){t^2} - 12t + M - 8 = 0$
Với M = 1 thì t = -7/12
Với M khác 1 thì $\Delta ' = 36 - (4M - 4)(M - 8) = 36 - (4{M^2} - 36M + 32) = - 4{M^2} + 36M + 4$
Phương trình có nghiệm khi $\Delta ' = - 4{M^2} + 36M + 4 \ge 0$
Vậy ${{9 - \sqrt {85} } \over 2} \le M \le {{9 + \sqrt {85} } \over 2}$
