Lời giải:
Do $a, b, c$ không có vai trò như nhau nên không thể giả sử \(a>b> c\) hoặc bất cứ TH nào khác mà chỉ có thể xét các TH.
Từ \(2a^a+b^b=3c^c\Leftrightarrow \frac{2a^a}{c^c}+\frac{b^b}{c^c}=3\) (*)
+) Nếu \(a=b=c\) thì hiển nhiên (*) đúng
\(2015^{a-b}+2016^{b-c}+2017^{c-a}=2015^0+2016^0+2017^0=3\)
+) Nếu tồn tại hai số bằng nhau thì hiển nhiên số còn lại cũng bằng 2 số đó. Giống như TH trên ta thu được giá trị biểu thức bằng 3
+) Nếu $a,b,c$ đôi một khác nhau
\(c=\min (a,b,c)\Rightarrow \frac{2a^a}{c^c}+\frac{b^b}{c^c}>2+1=3\) (trái với (*))
\(c=\max (a,b,c)\Rightarrow \frac{2a^a}{c^c}+\frac{b^b}{c^c}< 2+1=3\) (trái với (*))
Do đó $c$ nằm giữa $a$ và $b$
Giả sử \(a> c> b\)
\(\Rightarrow a\geq c+1\)
\(\Rightarrow 3=\frac{2a^a}{c^c}+\frac{b^b}{c^c}>\frac{2(c+1)^{c+1}}{c^c}\)
Ta có: \(2(c+1)^{c+1}>2(c+1).c^c\geq 2(1+1)c^c> 4c^c\)
\(\Rightarrow 3> \frac{2(c+1)^{c+1}}{c^c}> 4\) (mâu thuẫn)
Giả sử \(b> c> a\Rightarrow b\geq c+1\Rightarrow 3=\frac{2a^a}{c^c}+\frac{b^b}{c^c}> \frac{(c+1)^{c+1}}{c^c}\)
\(c=1\Rightarrow 3> \frac{(1+1)^{1+1}}{1^1}=4\) (vô lý)
\(c\geq 2\Rightarrow (c+1)^{c+1}=(c+1)(c+1)^c\geq 3(c+1)^c> 3c^c\)
\(\Rightarrow 3> \frac{(c+1)^{c+1}}{c^c}> 3\) (mâu thuẫn)
======-
Vậy \(a=b=c\) và giá trị biểu thức bằng 3
