Đáp án: `P_{min}=\frac{3}{2}⇔(x;y)=(1;\frac{1}{2})`
Giải thích các bước giải:
Trước hết bạn chứng minh BĐT sau nha, dùng Cauchy là được:
Với `a;b;c>0:\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}≥\frac{9}{a+b+c}(*)`
Dấu bằng xảy ra $⇔a=b=c$
Trở lại bài toán:
Ta có: $2≥x+2y≥2\sqrt{2xy}⇒2xy≤1⇒4xy≤2$
Áp dụng BĐT $(*)$ ta được:
`P=\frac{1}{x^2+4y^2}+\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4xy}`
`≥\frac{9}{x^2+4y^2+4xy+4xy}=\frac{9}{(x+2y)^2+4xy}`
`≥\frac{9}{2^2+2}=\frac{3}{2}`
Dấu bằng xảy ra
$⇔\begin{cases}x^2+4y^2=4xy\\x+2y=2\\x=2y\end{cases}⇔\begin{cases}x=1\\y=0,5\end{cases}$
