Lời giải:
Ta đi chứng minh bất đẳng thức phụ:
xy+3y25y3−x3≤2y−x
Thật vậy:
$\eqalign{
& {{5{y^3} - {x^3}} \over {xy + 3{y^2}}} \le 2y - x \cr
& \Leftrightarrow 5{y^3} - {x^3} - (xy + 3{y^2})(2y - x) \le 0 \cr
& \Leftrightarrow - {(x - y)^2}(x + y) \le 0 \cr} $
(Luôn đúng với mọi x, y dương)
Chứng minh tương tự:
yz+3z25z3−y3≤2z−y
xz+3x25x3−z3≤2x−z
Vậy P≤2y−x+2z−y+2x−z=x+y+z=1
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 31 .