Lời giải:
Ta đi chứng minh bất đẳng thức phụ:
${{5{y^3} - {x^3}} \over {xy + 3{y^2}}} \le 2y - x$
Thật vậy:
$\eqalign{
& {{5{y^3} - {x^3}} \over {xy + 3{y^2}}} \le 2y - x \cr
& \Leftrightarrow 5{y^3} - {x^3} - (xy + 3{y^2})(2y - x) \le 0 \cr
& \Leftrightarrow - {(x - y)^2}(x + y) \le 0 \cr} $
(Luôn đúng với mọi x, y dương)
Chứng minh tương tự:
${{5{z^3} - {y^3}} \over {yz + 3{z^2}}} \le 2z - y$
${{5{x^3} - {z^3}} \over {xz + 3{x^2}}} \le 2x - z$
Vậy $P \le 2y - x + 2z - y + 2x - z = x + y + z = 1$
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = $\frac{1}{3}$ .