Trường hợp $1$ : $ x+ y + z = 0$
$ \to x + y = -z ; y+ z = -x ; x + z = -y$. Ta có
$ M =( 1+ \dfrac{x}{y}) . ( 1+ \dfrac{y}{z}) . ( 1+ \dfrac{z}{x}) = \dfrac{x+y}{y} . \dfrac{y+z}{z}. \dfrac{x+z}{x}$
$ = \dfrac{(x+y)(y+z)(x+z)}{xyz} = \dfrac{(-x)(-y)(-z)}{xyz} = -1$
Trường hợp $2$ : $ x+y+z \ne 0$
$ \dfrac{y+z-x}{x} = \dfrac{z+x-y}{y} = \dfrac{x+y-z}{z}$
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
$ \dfrac{y+z-x}{x} = \dfrac{z+x-y}{y} = \dfrac{x+y-z}{z} = \dfrac{y+z-x +z+x-y+x+y-z}{x+y+z} $
$ = \dfrac{x+y+z}{x+y+z} = 1$
Ta có $ \dfrac{y+z-x}{x} = 1 \to y + z - x = x \to y + z = 2x$
Tương tự ta có $ x + y = 2z ; x + z = 2y$
$M = ( 1+ \dfrac{x}{y}) . ( 1+ \dfrac{y}{z}) . ( 1+ \dfrac{z}{x}) = \dfrac{x+y}{y} . \dfrac{y+z}{z}. \dfrac{x+z}{x}$
$ = \dfrac{2x.2y.2z}{xyz} = 2.2.2 = 8$
Kết luận :
Với $ x + y+ z = 0$ thì $ M = -1$
Với $ x+ y + z \ne 0$ thì $M = 8$
