Đáp án:
$minA = 13$ tại $(a,b,c) = (2,3,4)$
Giải thích các bước giải:
$A = a + b + c + \dfrac{3}{a} + \dfrac{9}{2b} + \dfrac{4}{c}$
$= \left(\dfrac{3a}{4} + \dfrac{3}{a}\right) +\left(\dfrac{b}{2} + \dfrac{9}{2b}\right) + \left(\dfrac{c}{4} +\dfrac{4}{c}\right) + \dfrac{1}{4}a + \dfrac{1}{2}b + \dfrac{3}{4}c$
$= \left(\dfrac{3a}{4} + \dfrac{3}{a}\right) +\left(\dfrac{b}{2} + \dfrac{9}{2b}\right) + \left(\dfrac{c}{4} +\dfrac{4}{c}\right) + \dfrac{1}{4}(a + 2b + 3c)$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ và dữ liệu đề bài, ta được:
$A \geq 2\sqrt{\dfrac{3a}{4}\cdot\dfrac{3}{a}} + 2\sqrt{\dfrac{b}{2}\cdot\dfrac{9}{2b}} + 2\sqrt{\dfrac{c}{4}\cdot\dfrac{4}{c}} + \dfrac{1}{4}.20$
$\Leftrightarrow A\geq 2.\dfrac{3}{2} + 2.\dfrac{3}{2} + 2 + 5 = 13$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}\dfrac{3a}{4} = \dfrac{3}{a}\\\dfrac{b}{2} = \dfrac{9}{2b}\\\dfrac{c}{4} = \dfrac{4}{c}\\a + 2b + 3c = 20\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a = 2\\b = 3\\c = 4\end{cases}$
Vậy $minA = 13$ tại $(a,b,c) = (2,3,4)$
