Đáp án:
$T = 2$.
Giải thích các bước giải:
Từ đẳng thức đã cho, ta có
$(4x^2 - 2xy - 2xz) - (2xy - y^2 - yz) - (2xz - yz - z^2) + (y^2 - 6y + 9) + (z^2 - 10z + 25) = 0$
$\Leftrightarrow 2x(2x - y - z) - y(2x - y - z) - z(2x - y - z) + (y-3)^2 + (z-5)^2 = 0$
$\Leftrightarrow (2x-y-z)(2x-y-z) + (y-3)^2 + (z-5)^2 = 0$
$\Leftrightarrow (2x-y-z)^2 + (y-3)^2 + (z-5)^2 = 0$
Ta thấy mỗi số hạng ở vế trái đều không âm, do đó
$(2x-y-z)^2 + (y-3)^2 + (z-5)^2 \geq 0$ với mọi $x,y,z$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
$\begin{cases} 2x - y - z = 0,\\ y-3 = 0,\\ z -5 = 0 \end{cases}$
Từ đó suy ra $x = 4, y = 3, z = 5$.
Vậy
$T = (x-4)^{2020} + (y-4)^{2020} + (z-4)^{2020}$
$= (4-4)^{2020} + (3-4)^{2020} + (5-4)^{2020}$
$= 0^{2020} + (-1)^{2020} + 1^{2020}$
$= 0 + 1 + 1 = 2$
Vậy $T = 2$.
