Đáp án:
$GTLN$ của $P = \dfrac{3(2\sqrt{2} - 1)}{7} ⇔ x + y = \sqrt{2}; xy = \dfrac{4 + \sqrt{2}}{3} $$
Giải thích các bước giải:
Đặt $a = x + y ; b = xy > 0$ ta có:
$ x³ + y³ + 3(x² + y²) + 4(x + y) + 4 = 0$
$ ⇔ (x + y)³ - 3xy(x + y) + 3[(x + y)² - 2xy] + 4(x + y) + 4 = 0$
$ ⇔ (x + y)³ + 3(x + y)² + 4(x + y) + 4 - 3xy(x + y + 2) = 0$
$ ⇔ a³ + 3a² + 4a + 4 - 3b(a + 2) = 0$
$ ⇔ (a + 2)(a² + a + 2) - 3b(a + 2) = 0$
$ ⇔ (a + 2)(a² + a + 2 - 3b) = 0$
@ Nếu $a + 2 = 0 ⇔ a = - 2 < 0$
$ ⇒ P = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{x + y}{xy} = \dfrac{a}{b} < 0 (1)$
@ Nếu $a² + a + 2 - b = 0 ⇔ b = \dfrac{a² + a + 2}{3} > 0 $
- Xét $ a ≤ 0 ⇒ P = \dfrac{a}{b} = \dfrac{3a}{a² + a + 2 } ≤ 0 (2)$
- Xét $ a > 0 ⇒ a + \dfrac{2}{a} ≥ 2\sqrt{a.\dfrac{2}{a}} = 2\sqrt{2} $ (BĐT Cô si)
$ ⇒ P = \dfrac{a}{b} = \dfrac{3a}{a² + a + 2 } = \dfrac{3}{a + \dfrac{2}{a} + 1 }$
$ ≤ \dfrac{3}{ 2\sqrt{2} + 1}= \dfrac{3(2\sqrt{2} - 1)}{7} (3)$
So sánh $(1); (2); (3) ⇒ GTLN$ của $P = \dfrac{3(2\sqrt{2} - 1)}{7} $
Xảy ra khi $: a = \dfrac{2}{a} ⇔ a = \sqrt{2} ⇔ x + y = \sqrt{2}$
$ xy = b = \dfrac{a² + a + 2}{3} = \dfrac{4 + \sqrt{2}}{3} $
