Ta có
$4x + 2y + 2z - 4\sqrt{xy} + 2\sqrt{yz} - 4\sqrt{zx} - 10\sqrt{z} - 6\sqrt{y} + 34 = 0$
$<-> [(2\sqrt{x})^2 + \sqrt{y}^2 + \sqrt{z}^2 - 4\sqrt{xy} + 2\sqrt{yz} - 4\sqrt{zx}] + (y - 6\sqrt{y} + 9) + (z - 10\sqrt{z} + 25) = 0$
$<-> (2\sqrt{x} - \sqrt{y} - \sqrt{z})^2 + (\sqrt{y} - 3)^2 + (\sqrt{z} - 5)^2 = 0$
Ta có
$(2\sqrt{x} - \sqrt{y} - \sqrt{z})^2 \geq 0$,
$(\sqrt{y} - 3)^2 \geq 0$
$(\sqrt{z} - 5)^2 \geq 0$
Cộng vế theo vế ta có
$VT \geq 0$ với mọi $x, y, z > 0$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
$\begin{cases} 2\sqrt{x} - \sqrt{y} - \sqrt{z} = 0\\ \sqrt{y} - 3 = 0\\ \sqrt{z} - 5 = 0 \end{cases}$
Suy ra $x =16 , y = 9, z = 25$
Vậy
$M = (x-15)^9 + (y-8)^6 + (z-24)^{2018}$
$= (16 - 15)^9 + (9-8)^6 + (25 - 24)^{2018}$
$= 1 + 1 + 1 = 3$
Vậy $M = 3$.
