Cách 1:

Ta có: $I$ là trung điểm cạnh $AB$ và $N$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow IN$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow IN\parallel AC$ (1)

Tương tự $MJ$ là đường trung bình $\Delta ACD$

$MJ\parallel AC$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow IN\parallel MJ$ (*)

Tương tự: $NJ$ là đường trung bình $\Delta BCD$

$\Rightarrow NJ\parallel BD$

và $IM$ là đường trung bình $\Delta ABD$

$\Rightarrow IM\parallel BD$

$\Rightarrow IM\parallel NJ$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra Tứ giác $INJM$ là hình bình hành vì có 2 cặp cạnh đối song song

Gọi $O=MN\cap IJ\Rightarrow O$ là trung điểm của $MN,IJ$

Ta có: $PN$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow PN\parallel=\dfrac{1}{2}AB$

$MQ$ là đường trung bình $\Delta ABD$

$\Rightarrow MQ\parallel=\dfrac{1}{2}AB$

$\Rightarrow NP\parallel=MQ$

$\Rightarrow NPMQ$ là hình bình hành

$O$ là trung điểm của $NM\Rightarrow O$ là trung điểm của $PQ$

Vậy $IJ,PQ,MN$ có chung trung điểm $O$ (đpcm).

Cách 2:

Như chứng minh trên tứ giác $INJM$ là hình bình hành, $O=IJ\cap MN$

$O$ là trung điểm của $MN,IJ$

Ta có: $\vec{OA}+\vec{OC}=2\vec{OP}$ (quy tắc hình bình hành)

$\vec{OB}+\vec{OD}=2\vec{OQ}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow \vec{OP}+\vec{OQ}=\dfrac{1}{2}(\vec{OA}+\vec{OC}+\vec{OB}+\vec{OD})$

$=\dfrac{1}{2}[(\vec{OA}+\vec{OD})+(\vec{AB}+\vec{OC})]$

$=\dfrac{1}{2}(2\vec{OM}+2\vec{ON})$

$=\vec{OM}=\vec{ON}=\vec 0$

$\Rightarrow O$ là trung điểm của $PQ$

$\Rightarrow IJ,MN,PQ$ có chung trung điểm là $O$ (đpcm).