Đáp án:
\(I\left( {\dfrac{{5 - \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{5 - \sqrt 5 }}{2}} \right)\).
Giải thích các bước giải:
Gọi AD, BE là hai đường phân giác trong tam giác ABC.
Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: \(\dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\).
Ta có: \(AB = \sqrt {{1^2} + {0^2}} = 1;\,\,AC = \sqrt {{0^2} + {2^2}} = 2\)
\( \Rightarrow \dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow DC = 2DB \Rightarrow \overrightarrow {DC} = - 2\overrightarrow {DB} \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x_D} = - 2\left( {2 - {x_D}} \right)\\3 - {y_D} = - 2\left( {1 - {y_D}} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x_D} = - 4 + 2{x_D}\\3 - {y_D} = - 2 + 2{y_D}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x_D} = 5\\3{y_D} = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = \dfrac{5}{3}\\{y_D} = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\\ \Rightarrow D\left( {\dfrac{5}{3};\dfrac{5}{3}} \right)\end{array}\)
Tương tự ta tìm được điểm \(E\left( {1;\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)\).
Gọi I(x;y) là giao điểm của AD, BE.
\(\overrightarrow {AI} = \left( {x - 1;y - 1} \right);\,\,\overrightarrow {AD} = \left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\) cùng phương
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{{\dfrac{2}{3}}} = \dfrac{{y - 1}}{{\dfrac{2}{3}}} \Leftrightarrow x - 1 = y - 1\\ \Leftrightarrow x = y\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
\(\overrightarrow {BI} = \left( {x - 2;y - 1} \right);\,\,\overrightarrow {BE} = \left( { - 1;\dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}} \right)\) cùng phương
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{x - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 1}}{{\dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\left( {x - 2} \right) = - 1\left( {y - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt 5 - 1} \right)x - 2\left( {\sqrt 5 - 1} \right) = - 2y + 2\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt 5 - 1} \right)x + 2y = 2\sqrt 5 \,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Giải hệ (1), (2) ta được: \(I\left( {\dfrac{{5 - \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{5 - \sqrt 5 }}{2}} \right)\).
