Ta có : $A=1+2+2^2+2^3+...+2^{99}$
$⇒2A = 2+2^2+2^3+2^4+...+2^{100}$
$⇒2A-A=(2+2^2+2^3+..+2^{100})-(1+2+2^2+...+2^{99})$
$⇒A=2^{100}-1$
$⇒A+1=2^{100}
Ta có: 2100 = (210)10 = 102410
1030 = (103)10 = 100010
Vì 102410 > 100010 nên 2100 > 1030 (1)
Lại có:
2100 = 231.263.26 = 231.5127.64
và 1031 = (2.5)31 = 231.531 = 231.528.53 = 231.6257.125
Vì 231.5127.64 < 231.6257.125 nên 2100 < 1031 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ 2100 có 31 chữ số.
Vì vậy : $A$ có 31 chữ số. (đpcm)
