Ta có: ababluôn bé hơn a+nb+na+nb+nnếu a < b (a ; b ; thuộc Z ; n thuộc N*)
Thêm 1 vào tử và mẫu của mỗi phân số trên, ta có:
A<23.45.67.(...).100101A<23.45.67.(...).100101
=>A2<1.2.3.(...).1002.3.4.(...).101=1101A2<1.2.3.(...).1002.3.4.(...).101=1101(nhân cả 2 vế cho A)
Quy tắc:(ab)2=a2b2(ab)2=a2b2
=>A2<1101<1100=12102=(110)2A2<1101<1100=12102=(110)2
=>A<110A<110 (1)
Giữ nguyên 1212, bớt đi ở tử và mẫu của các phân số còn lại, ta có:
A>12.23.45.(...).9899A>12.23.45.(...).9899
=>A2>12.12.23.(...)99100A2>12.12.23.(...)99100(nhân cả 2 vế cho A)
=>A2>12.1.2.3.(...).992.3.4.(...).100=12.1100=1200A2>12.1.2.3.(...).992.3.4.(...).100=12.1100=1200
Mà(115)2=1225<1200<A2(115)2=1225<1200<A2
=>115<A115<A (2)
Từ (1) và (2) => 115<A<110115<A<110(đpcm)
