Giải
Ta luôn luôn có :
$n^{2}$ - $n$=$n.n$ - $n$=$n(n-1)$
Nxét: $n$ và $n-1$ là $2$ số tự nhiên liên tiếp⇒$n(n-1)$ ⋮ $2$ (1)
⇒S=$a^{2}_{1}$ + $a^{2}_{2}$ + $a^{2}_{3}$ + .......+$a^{2}_{100}$ -($a_{1}$ + $a_{2}$ +($a_{3}$+......+$a_{100}$)
⇒S=$a^{2}_{1}$ + $a^{2}_{2}$ + $a^{2}_{3}$ + .......+$a^{2}_{100}$ -($a_{1}$ - $a_{2}$ -$a_{3}$-......-$a_{100}$
⇒S=($a^{2}_{1}$ - $a_{1}$) + ($a^{2}_{2}$ - $a_{2}$) + ($a^{2}_{3}$ - $a_{3}$) + .......+($a^{2}_{100}$ - $a_{100}$) ⋮ 2 [từ (1)]
Mà từ đề bài $a_{1}$ + $a_{2}$ + $a_{3}$ + ....+$a_{100}$=22015 là một số lẻ
⇒$a^{2}_{1}$ + $a^{2}_{2}$ + $a^{2}_{3}$ + .......+$a^{2}_{100}$ cũng tính chẵn lẻ⇒lẻ.
Mặt $\neq$ :một số lẻ không thể chia hết cho $2$
⇒$a^{2}_{1}$ + $a^{2}_{2}$ + $a^{2}_{3}$ + .......+$a^{2}_{100}$ không chia hết cho $2$
Vậy $a^{2}_{1}$ + $a^{2}_{2}$ + $a^{2}_{3}$ + .......+$a^{2}_{100}$ không chia hết cho $2$ (đpcm)
