$A=2+2^2+2^3+2^4+2^5+...+2^{2011}+2^{2012}+2^{2013}+2^{2014}+2^{2015}$
$A=(2+2^2+2^3+2^4+2^5)+...+(2^{2011}+2^{2012}+2^{2013}+2^{2014}+2^{2015})$
$A=2(1+2+2^2+2^3+2^4)+...+2^{2011}(1+2+2^2+2^3+2^4)$
$A=31.(2+...+2^{2011})chia hết cho 31$
$⇒ \frac{A}{31}∈Z$
$A=2+2^2+2^3+...+2^{2015}$
$2A=2^2+2^3+2^4+...+2^{2016}$
$2A-A=(2^2+2^3+2^4+...+2^{2016})-(2+2^2+2^3+...+2^{2015})$
$A=2^{2016}-2$
$⇒B=2^{2016}=2^{1008.2}=(2^{1008})^2$
⇒ B là số chính phương