Đáp án:
(a + b + c)² = 9
(a + b + c)² = 129
Giải thích các bước giải: Đặt P = (a + b + c)²
{ a² + ab + b² = 64 (1)
{ b² + bc + c² = 25 (2)
{ c² + ca + a² = 49 (3)
Lấy (1) + (2) + (3):
2(a² + b² + c²) + (ab + bc + ca) = 138 (4)
⇔ 2(a² + b² + c²) + 4(ab + bc + ca) = 3(ab + bc + ca) +138
⇔ 2P = 138 + 3(ab + bc + ca) (*)
Mặt khác lần lượt lấy (1) - (2); (2) - (3); (3) - (1) vế theo vế:
{ a² - c² + b(a - c) = 39
{ b² - a² + c(b - a) = - 24
{ c² - b² + a(c - b) = - 15
⇔
{ (a - c)(a + b + c) = 39
{ (b - a)(a + b + c) = - 24
{ (c - b)(a + b + c) = - 15
⇒
{ (a - c)²(a + b + c)² = 39²
{ (b - a)²(a + b + c)² = 24²
{ (c - b)²(a + b + c)² = 15²
⇔
{ (a² - 2ca + c²)P = 1521 (5)
{ (b² - 2ab + a²)P = 576 (6)
{ (c² - 2bc + b²)P = 225 (7)
Lấy (5) + (6) + (7):
[2(a² + b² + c²) - 2(ab + bc + ca)].P = 2322
⇔ [2(a² + b² + c²) + (ab + bc + ca) - 3(ab + bc + ca)].P = 2322
⇔ [138 - 3(ab + bc + ca)]P = 2322 ( thay (4) vào)
⇔ 2322/P = 138 - 3(ab + bc + ca) (**)
Lấy (*) + (**) vế theo vế:
2P + 2322/P = 276
⇔ P² - 138P + 1161 = 0
⇔ (P - 9)(P - 129) = 0
⇔ P = 9; P = 129 (Thử lại đều thỏa)
