Đáp án :
`P=-1` hoặc `P=8`
Giải thích các bước giải :
`+)P=(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)`
`<=>P=(a+b)/b×(b+c)/c×(c+a)/a`
`+)a^3+b^3+c^3-3abc=0`
`<=>a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc=0`
`<=>(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)=0`
`<=>(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)=0`
`<=>(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ca-bc+c^2-3ab)=0`
`<=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0`
`+)a+b+c=0`
`=>`$\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{cases}$
Thay vào `P,` ta được :
`P=(-c)/b×(-a)/c×(-b)/c`
`<=>P=-(a×b×c)/(a×b×c)`
`<=>P=-1`
`+)a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0`
`<=>2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0`
`<=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0`
`<=>(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0`
`<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0` (*)
Vì `(a-b)^2 ≥ 0; (b-c)^2 ≥ 0; (c-a)^2 ≥ 0 ∀ a,b,c ∈ R`
`=>` Để xảy ra (*)
`<=>`$\begin{cases}(a-b)^2=0\\(b-c)^2=0\\(c-a)^2=0\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}$
`<=>`$\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}$
`=>a=b=c`
Thay vào `P,` ta được :
`P=(2a)/a×(2b)/b×(2c)/c`
`<=>P=(2a×2b×2c)/(a×b×c)`
`<=>P=(8abc)/(abc)`
`<=>P=8`
Vậy `P=-1` hoặc `P=8`
