$A$ = $5$ + $5^{2}$ + $5^{3}$ + ..... + $5^{2019}$
$5A$ = $5^{2}$ + $5^{3}$ +$5^{4}$+ ..... + $5^{2020}$
$5A-A$=($5^{2}$ + $5^{3}$ +$5^{4}$+ ..... + $5^{2020}$)-($5$ + $5^{2}$ + $5^{3}$ + ..... + $5^{2019}$)
$4A$=$5^{2020}$ - $5$
$4A+5$ = $5^{2020}$
$4A + 5$ =$(5^{1010})^{2}$
⇒$4A+5$ là số chính phương
Vậy $4A+5$ là số chính phương($đpcm$)