Đáp án:
`(a+b)(a^3+b^3)(a^5+b^5)<=4(a^9+b^9)`
Giải thích các bước giải:
CMBĐT:`x<=y` và `z<=t` và `x,y,z,t>=0`
`=>(x+y)(z+t)<=2(xz+yt)`
`<=>xz+xt+yt+yz<=2xz+2yt`
`<=>xt+yz<=xz+yt`
`<=>xt-xz+yz-yt<=0`
`<=>x(t-z)+y(z-t)<=0`
`<=>x(t-z)+y(t-z)>=0`
`<=>(t-z)(x+y)>=0` luôn đúng
dấu = xảy ra khi `t-z` hoặc `x=y=0`
để không mất tính tổng quát ta giả sử `a<=b`
áp dụng BĐT trên với `a<=b` và 2 cặp số ở đây là `(a,b)` và `(a^3,b^3)`
`(a+b)(a^3+b^3)<=2.(a.a^3+b.b^3)`
`<=>(a+b)(a^3+b^3)<=2.(a^4+b^4)`
áp dụng BĐT trên 1 lần lữa ta có và 2 cặp số ở đây là `(a^4,b^4)` và `(a^5,b^5)`
`(a^4+b^4)(a^5+b^5)<=(a^{4}.a^{5}+b^{4}.b^{5})`
`<=>(a^4+b^4)(a^5+b^5)<=2(a^9+b^9)`
`<=>2(a^4+b^4)(a^5+b^5)<=4(a^9+b^9)`
mà `(a+b)(a^3+b^3)<=2.(a^4+b^4)`
`=>(a+b)(a^3+b^3)(a^5+b^5)<=4(a^9+b^9)(ĐPCM)`
dấu = xảy ra khi `a=b`
$@Kate2007$
