$ab^2=1$
$⇒a=\dfrac{1}{b^2}$
$P=(1+a)(1+b)^2$
$P=(1+a)(b^2+2b+1)$
$P=b^2+2b+1+ab^2+2ab+a$
$P=b^2+2b+1+\dfrac{1}{b^2}.b^2+2\dfrac{1}{b^2}b+\dfrac{1}{b^2}$
$P=b^2+2b+1+1+2.\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b^2}$
$P=b^2+\dfrac{1}{b^2}+2+\left (2b+2\dfrac{1}{b} \right )$
$P=b^2+\dfrac{1}{b^2}+2+2\left (b+\dfrac{1}{b} \right )$
Theo bất đẳng thức Cô-si :
$b^2+\dfrac{1}{b^2} \geq 2\sqrt{\dfrac{b^2}{b^2}}=2$
$b+\dfrac{1}{b} \geq 2\sqrt{\dfrac{b}{b}}=2$
$⇒P \geq 2+2+2.2$
$⇔P \geq 8$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi :
$b^2=\dfrac{1}{b^2}$
$⇔b^2.b^2=1$
$⇔b^4=1$
$⇔b=1 (1)$ ( Vì theo đề bài , $a ; b >0$ )
Mà $a.b^2=1 (2)$
Kết hợp $(1)$ với $(2) ⇒ a=1$
Vậy khi $a=b=1$ thì $Min_P=8$
