Đáp án + Giải thích các bước giải:
Ta có: `(a-b)^2>=0`
`<=>a^2-2ab+b^2>=0`
`<=>a^2+b^2>=2ab(1)`
Áp dụng bất đẳng thức `(1)` ta có:
`(a+1/b)^2+(5/2)^2>=2(a+1/b).5/2`
`<=>(a+1/b)^2+(5/2)^2>=5(a+1/b)`
Tương tự ta có được: `(b+1/a)^2+(5/2)^2>=5(b+1/a)`
`=>(a+1/b)^2+(b+1/a)^2+25/4+25/4>=5(a+1/b)+5(b+1/a)`
`<=>(a+1/b)^2+(b+1/a)^2+25/2>=5(a+1/b+b+1/a)`
`<=>(a+1/b)^2+(b+1/a)^2+25/2>=5+5(1/a+1/b)`
Mà `1/a+1/b>=4/(a+b)`
`<=>(a+1/b)^2+(b+1/a)^2+25/2>=5+5 . 4/(a+b)=5+20`
`<=>(a+1/b)^2+(b+1/a)^2>=25-25/2=25/2`
Dấu "`=`" xảy ra khi: `a=b=1/2`
Vậy `(a+1/b)^2+(b+1/a)^2>=25/2`
