Đáp án:
$a^{2} + b^{2} = 29$
$\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} = - \frac{155}{8}$
$a^{3} - b^{3} = - 27\sqrt[]{33}$
Giải thích các bước giải:
Ta có : $a + b = 5$
⇒ $( a + b )^{2} = 25$
⇔ $a^{2} + 2ab + b^{2} = 25$
⇔ $a^{2} + b^{2} - 4 = 25$
⇔ $a^{2} + b^{2} = 29$
Lại có : $a + b = 5$
⇒ $( a + b )^{3} = 125$
⇔ $a^{3} + 3ab( a + b ) + b^{3} = 125$
⇔ $a^{3} + b^{3} - 30 = 125$
⇔ $a^{3} + b^{3} = 155$
⇔ $\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{3}b^{3}} = \frac{155}{(-2)^{3}}$
⇔ $\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} = - \frac{155}{8}$
Lại có : $a + b = 5 , ab = - 2$
⇔ $a( 5 - a ) = - 2$
⇔ $- a^{2} + 5a = - 2$
⇔ $a^{2} - 5a - 2 = 0$
⇔ $( a - \frac{5}{2} )^{2} = \frac{33}{4}$
⇔ $a - \frac{5}{2} = ± \frac{\sqrt[]{33}}{2}$
⇔ $a = \frac{5±\sqrt[]{33}}{2}$
+) $a = \frac{5+\sqrt[]{33}}{2} ⇒ b = \frac{5-\sqrt[]{33}}{2}$ ( loại vì $a < b$ )
+) $a = \frac{5-\sqrt[]{33}}{2} ⇒ b = \frac{5+\sqrt[]{33}}{2}$ ( TM )
⇒ $a - b = - \sqrt[]{33}$
⇒ $( a - b )^{3} = - 33\sqrt[]{33}$
⇔ $a^{3} - 3ab( a - b ) - b^{3} = - 33\sqrt[]{33}$
⇔ $a^{3} - b^{3} - 6\sqrt[]{33} = - 33\sqrt[]{33}$
⇔ $a^{3} - b^{3} = - 27\sqrt[]{33}$
