Đáp án: $A = B = 1$

Giải thích các bước giải:

Giả thiết $: \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} = 0 ⇔ ab + bc + ca = 0$ nên:

$ a² + 2bc = a² + bc + bc = a² - ab - ca + bc = - (a - b)(c - a)$

$ b² + 2ca = b² + ca + ca = b² - bc - ab + ca = - (b - c)(a - b)$

$ c² + 2ab = c² + ab + ab = c² - ca - bc + ab = - (c - a)(b - c)$

Ta có:

$B + 2A = \dfrac{a²}{a² + 2bc} +  \dfrac{b²}{b² + 2ca} + \dfrac{c²}{c² + 2ab}$

$ + \dfrac{2bc}{a² + 2bc} +  \dfrac{2ca}{b² + 2ca} + \dfrac{2ab}{c² + 2ab}$

$ = \dfrac{a²+ 2bc}{a² + 2bc} +  \dfrac{b² + 2ca}{b² + 2ca} + \dfrac{c² + 2ab}{c² + 2ab} = 1 + 1 + 1 = 3(*)$

Lại có :

$ A = \dfrac{bc}{a² + 2bc} +  \dfrac{ca}{b² + 2ca} + \dfrac{ab}{c² + 2ab}$

$ = \dfrac{- bc}{(a - b)(c - a)} +  \dfrac{ - ca}{(b - c)(a - b)} + \dfrac{ -ab}{(c - a)(b - c)}$

$ = \dfrac{bc(c - b) + ca(a - c) + ab(b - a)}{(a - b)(b - c)(c - a)}$

$ = \dfrac{bc² - b²c + ca² - c²a + ab² - a²b}{(a - b)(b - c)(c - a)} (1)$

$ B = \dfrac{a²}{a² + 2bc} +  \dfrac{b²}{b² + 2ca} + \dfrac{c²}{c² + 2ab}$

$ = \dfrac{- a²}{(a - b)(c - a)} +  \dfrac{- b²}{(b - c)(a - b)} + \dfrac{- c²}{(c - a)(b - c)}$

$ = \dfrac{a²(c - b) + b²(a - c) + c²(b - a)}{(a - b)(b - c)(c - a)}$

$ = \dfrac{ca² - a²b + ab² - b²c + bc² - c²a}{(a - b)(b - c)(c - a)} (2)$

Từ $ (1); (2) ⇒ A = B (**)$ 

Thay $(**)$ vào $(*) ⇒ 3A = 3 ⇒ A = 1; ⇒ B = 1$

Đáp án:

Đặt M = 1/(a^2+2bc)+1/(b^2+2ac)+1/(c^2+2ab)

N = bc/(a^2+2bc)+ca/(b^2+2ac)+ab/(c^2+2ab)

1/a + 1/b + 1/c = 0 => ab + bc + ca = 0
=> bc = -( ab + ac )
=> a⊃2; + bc = a⊃2; - ab - ac
=> a⊃2; + 2bc = a⊃2; - ab - ac + bc = ( a - c )( a - b )
=> 1/(a⊃2; + 2bc) = 1/(a-c)(a-b)
T⊃2; : 1/(b⊃2; + 2ac ) = 1/(b-c)(b-a)
----: 1/(c⊃2; + 2ab ) = 1/(c-a)(c-b)
=> M = 1/(a-c)(a-b) + 1/(b-c)(b-a) + 1/(c-a)(c-b) = 0

=> M + N = P = 0 + 1 = 1