Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Với mọi số thực không âm $a;b;c$ ta luôn có:
$(a-b-c)^2+2b^2c^2 \geq 0$
$⇔1+2bc+2b^2c^2 \geq 2ab+2ac$ (tui thay luôn $a^2+b^2+c^2=1$)$
$⇔2+4bc+2b^2c^2 \geq 1+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)^2$
$⇔2(bc+1)^2 \geq (a+b+c)^2$
$⇔2a^2(bc+1)^2 \geq a^2(a+b+c)^2$
$⇔\sqrt{2}a(bc+1) \geq a(a+b+c)$
$⇔\dfrac{a}{1+bc} \leq \dfrac{\sqrt{2}a}{a+b+c}$
Hoàn toàn tương tự, ta có:
$\dfrac{b}{1+ca} \leq \dfrac{\sqrt{2}b}{a+b+c}$; $\dfrac{c}{1+ab} \leq \dfrac{\sqrt{2}c}{a+b+c}$
Cộng vế với vế: $P \leq \dfrac{\sqrt{2}(a+b+c)}{a+b+c}=\sqrt{2}$
$P_{max}=\sqrt{2}$ khi $(a;b;c)=(0;\dfrac{\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2})$ và hoán vị
Min:
Ta có:
$a^2(1+bc) \leq a^2\left ( 1+\dfrac{b^2+c^2}{2} \right )=a^2\left ( \dfrac{3-a^2}{2} \right )=a\left ( \dfrac{-a^3+3a-2}{2}+1 \right )$
$⇔a^2(1+bc) \leq a\left ( -\dfrac{1}{2}(a-1)^2(a+2)+1 \right ) \leq a.1=a$
$⇒\dfrac{a}{1+bc} \geq a^2$
Hoàn toàn tương tự: $\dfrac{b}{1+ca} \geq b^2$; $\dfrac{c}{1+ab} \geq c^2$
Cộng vế với vế:
$P \geq a^2+b^2+c^2=1$
$P_{min}=1$ khi $(a;b;c)=(0;0;1)$ và các hoán vị
