Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt `R = 1/(b^2c+1)+1/(c^2d+1)+1/(d^2a+1)+1/(a^2b+1)`
Ta có :
`1/(b^2c+1) = 1 - (b^2c)/(1+b^2c)>= 1 - (b^2c)/(2b\sqrt{c})= 1-(b\sqrt{c})/2`
Tương tự :
`1/(c^2d+1) =1 - (c^2d)/(1+c^2d) >= 1 - (c^2d)/(2c\sqrt{d}) = 1 - (c\sqrt{d})/2`
`1/(d^2a+1) =1 - (d^2a)/(1+d^2a) >= 1 - (d^2a)/(2d\sqrt{a}) = 1 - (d\sqrt{a})/2`
`1/(a^2b+1) =1 - (a^2b)/(1+a^2b) >= 1 - (a^2b)/(2a\sqrt{b}) = 1 - (a\sqrt{b})/2`
Cộng dọc theo vế ta được : ` R >= 4 - (b\sqrt{c} + c\sqrt{d} +d\sqrt{a}+a\sqrt{b})/2`
Ta có :
Đặt `N =(b\sqrt{c} + c\sqrt{d} +d\sqrt{a}+a\sqrt{b})/2`
Ta có :
`b\sqrt{c} = \sqrt{b} . \sqrt{bc} <= (b+bc)/2`
Tương tự :
`c\sqrt{d} <= (c+cd)/2`
`d\sqrt{a} <= (d+ad)/2`
`a\sqrt{b} <= (a+ab)/2`
Cộng dọc theo vế ta được :
`N <= 1/4(a+b+c+d) +1/4(ab+bc+cd+ad) = 1/4 . 4 +1/4(ab+bc+cd+ad) = 1+1/4(ab+bc+cd+ad)`
Ta có :
`ab+bc+cd+ad = b(a+c)+d(a+c) =(a+c)(b+d) <= (a+c+b+d)^2/4 =4^2/4 =4`
`-> N <= 1 + 1/4 . 4 = 2`
Suy ra :
`R >= 4 -2 =2`
Dấu `=` xảy ra : `a =b =c =1`
