Giả sử $\frac{1}{a+b+1}$+$\frac{1}{b+c+1}$+$\frac{1}{c+a+1}$ ≤ 1
⇔ ( b+c+1).( c+a+1) +( a+b+1).( c+a+1)+( a+b+1).( b+c+1) ≤ ( a+b+1).( b+c+1).( c+a+1)
⇔ ( b+c).( c+a)+c+a+1+b+c+1+( a+b).( c+a)+a+b+1+c+a+1+( a+b).( b+c)+b+c+1+a+b+1
≤ ( a+b).( b+c).( c+a)+( b+c).( c+a)+( a+b).( c+a)+( a+b).( b+c)+a+b+b+c+c+a+1
⇔ 2+2a+2b+2c ≤ ( a+b).( b+c).( c+a)
⇔ 2+2.( a+b+c) ≤ ( abc+a²b+ac²+a²c+b²c+b²a+bc²+abc)
⇔ 2+2.( a+b+c) ≤ abc+a²b+ab²+abc+b²c+bc²+abc+a²c+ac²-abc
⇔ 2+2.( a+b+c) ≤ ab.( a+b+c)+bc.( a+b+c)+ac.( a+b+c)-1
⇔ 3+2.( a+b+c) ≤ ( a+b+c).( ab+bc+ac)
⇔ 3 ≤ ( a+b+c).( ab+bc+ac-2) (*)
Áp dụng bất đẳng thức cô-sy ta có:
a+b+c ≥ 3.$\sqrt[3]{abc}$ = 3
ab+bc+ac ≥ 3.$\sqrt[]{a²b²c²}$=3
Xét vế phải ta có: ( a+b+c).( ab+bc+ac-2) ≥ 3.( 3-2) = 3 = Vế trái
Vì vậy (*) luôn đúng, do đó điều giả sử đúng
Dấu ''='' xảy ra khia a=b=c=1
