Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$a,b,c > 0; 1 ≤ abc ⇒ \dfrac{1}{a} ≤ bc (*); \dfrac{1}{ca} ≤ b (**)$
$ ⇒ 1 + a + ab ≥ abc + a + ab = a(1 + b + bc) (1)$
$ ⇔ \dfrac{1}{1 + a + ab} ≤ \dfrac{1}{a(1 + b + bc)} ≤ \dfrac{bc}{1 + b + bc} (2)$ ( theo $(*))$
$ ⇒ 1 + c + ca ≥ abc + c + ca = c(1 + a + ab) ≥ ca(1 + b + bc) (3)$
$ ⇔ \dfrac{1}{1 + c + ca} ≤ \dfrac{1}{ca(1 + b + bc)} ≤ \dfrac{b}{1 + b + bc} (4)$ ( theo $(**))$
Từ $(2); (4)$
$ \dfrac{1}{1 + a + ab} + \dfrac{1}{1 + b + bc} + \dfrac{1}{1 + c + ca} $
$ ≤ \dfrac{bc}{1 + b + bc} + \dfrac{1}{1 + b + bc} + \dfrac{b}{1 + b + bc}$
$ = \dfrac{1 + b+ bc}{1 + b + bc} = 1 (đpcm)$
Dấu $'='$ xảy ra khi $a = b = c = 1$
