a) Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:
$a^4 + b^4 +b^4 + b^4 \geq 4\sqrt[4]{a^4.b^4.b^4.b^4} = 4|ab^3| = 4ab^3$ $(a,b,c > 0)$
Tương tự ta được:
$b^4 +c^4 +c^4 + c^4 \geq 4bc^3$
$c^4 +a^4 +a^4 + a^4 \geq 4ca^3$
Cộng vế theo vế ta được:
$4(a^4 + b^4 +c^4) \geq 4(ab^3 + bc^3 + ca^3)$
$\Leftrightarrow a^4 +b^4 +c^4 \geq ab^3 + bc^3 + ca^3$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$
b) Tương tự câu a.
Bằng cách áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:
$a^4 + a^4 +a^4 + b^4 \geq 4a^3b$
$b^4 +b^4 + b^4 +c^4 \geq 4b^3c$
$c^4 +c^4 + c^4 + a^4 \geq 4c^4a$
Cộng vế theo vế ta được:
$4(a^4 + b^4 +c^4) \geq 4(a^3b + b^3c + c^3a)$
$\Leftrightarrow a^4 + b^4 + c^4 \geq a^3b + b^3c + c^3a$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$
