`a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = a^2/(ab+ac) + b^2/(ab + bc) + c^2/(ac + bc)`
Áp dụng Cauchy Schwarz dạng Engel
` a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) = a^2/(ab+ac) + b^2/(ab + bc) + c^2/(ac + bc) `
` \ge ((a+b+c)^2)/(ab +ac + ab + bc + ac + bc) = ((a+b+c)^2)/( 2(ab+ bc + ac))`
Ta có BĐT phụ ` (a+b+c)^2 \ge 3(ab+ bc +ac)` ; thật vậy, BĐT tương đương
` a^2 +b^2 +c^2 + 2ab + 2bc + 2ac - 3ab - 3bc -3ac \ge 0`
`\to a^2 +b^2 + c^2 -ab - bc - ac \ge 0`
`\to 2a^2+ 2b^2 +2c^2 -2ab - 2bc - 2ac \ge 0`
` \to (a-b)^2 +(b-c)^2 + (c-a)^2 \ge 0` (đúng)
Áp dụng, ta có
` a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) \ge ((a+b+c)^2)/( 2(ab+ bc + ac)) \ge (3(ab+bc+ac))/(2(ab+bc+ac)) = 3/2`
Dấu `=` xảy ra khi ` a = b =c`
--- BĐT đề bài là BĐT Nesbit, có siêu nhiều cách chứng minh nhưng mình quen làm theo cách này
