Đáp án:
Ta có : `a + b + c <= \sqrt{3(a^2 + b^2 + c^2) } = \sqrt{3.3} = 3`
`VT = (2a^2)/(a + b^2) + (2b^2)/(b + c^2) + (2c^2)/(c + a^2)`
` = 2a - (2ab^2)/(a + b^2) + 2b - (2bc^2)/(b + c^2) + 2c - (2ca^2)/(c + a^2)`
`= 2(a + b + c) - ((2ab^2)/(a + b^2) + (2bc^2)/(b + c^2) + (2ca^2)/(c + a^2))`
Áp dụng BĐT ` Cô si` ta có
`a + b^2 ≥ 2\sqrt{ab^2} -> (2ab^2)/(a + b^2) ≤ (2ab^2)/(2\sqrt{ab^2}) = \sqrt{ab^2} = b\sqrt{a}`
tương tự `-> (2bc^2)/(b + c^2) <= c\sqrt{b}`
`(2ca^2)/(c + a^2) <= a\sqrt{c}`
Cộng tất cả lại ta được
`(2ab^2)/(a + b^2) + (2bc^2)/(b + c^2) + (2ca^2)/(c + a^2) <= a\sqrt{c} + b\sqrt{a} + c\sqrt{b}`
`-> VT ≥ 2(a + b + c) - (a\sqrt{c} + b\sqrt{a} + c\sqrt{b})`
Nếu ta c/m đc `2(a + b + c) - (a\sqrt{c} + b\sqrt{a} + c\sqrt{b}) ≥ a + b+ c (1) ` thì bài toán đc c/m
`(1) <=> a + b + c ≥ a\sqrt{c} + b\sqrt{a} + c\sqrt{b}`
Đặt `(\sqrt{a} , \sqrt{b} , \sqrt{c}) = (x,y,z) (x,y,z > 0)`
thì việc c/m `(2) <=> x^2 + y^2 + z^2 >= x^2z + y^2x + z^2y`
Ta có :
`x + y+ z = \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} ≤ \sqrt{3(a + b + c)} ≤ \sqrt{3.3} = 3`
`-> 3(x^2 + y^2 + z^2) ≥ (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2) = (x^3 + y^3 + z^3) + (x^2z + y^2x + z^2y) + (x^2y + y^2z+ z^2x)`
Áp dụng BĐT Cô si ta có
`x^3 + xz^2 ≥ 2\sqrt{x^3 . xz^2} = 2x^2z`
tương tự `-> y^3 + yx^2 >= 2y^2x`
`z^3 + zy^2 >= 2z^2y`
Đem cộng lại ta được
`x^3 + y^3 + z^3 + x^2y + y^2z + z^2x >= 2(x^2z + y^2x + z^2y)`
`-> (x^3 + y^3 + z^3) + (x^2z + y^2x + z^2y) + (x^2y + y^2z+ z^2x) >= 3(x^2z + y^2x + z^2y)`
`-> 3(x^2 + y^2 + z^2) >=3(x^2z + y^2x + z^2y)`
`-> x^2 + y^2 + z^2 >= x^2z + y^2x + z^2y`
`-> đ.p.c.m`
Dấu "=" xảy ra `<=> a = b = c = 1`
Giải thích các bước giải:
