Theo đề: $a^3+b^3+c^3=3abc$
$⇒a^3+b^3+c^3-3abc=0$
Phân tích đa thức $a^3+b^3+c^3-3abc$ thành nhân tử, đầu tiên ta phân tích $b^3+c^3$: $b^3+c^3=(b+c)(b^2-bc+c^2)=(b+c)[(b+c)^2-3bc]=(b+c)^3-3bc(b+c);$
Suy ra: $a^3+b^3+c^3-3abc=a^3+(b+c)^3-3bc(b+c)-3abc=(a+b+c)[a^2-a(b+c)+(b+c)^2]-3bc(a+b+c)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
Do đó, nếu:
$a^3+b^3+c^3-3abc=0$ thì $a+b+c=0$ hoặc $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$ hay $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0.$
Suy ra: $a=b=c(đpcm)$
