Đáp án: $P_{min}=2019\sqrt{5}⇔a=b=c=673$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
`\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{(\frac{3}{4}a^2-\frac{3}{2}ab+\frac{3}{4}b^2)+(\frac{5}{4}a^2+\frac{5}{2}ab+\frac{5}{4}b^2)}`
`=\sqrt{\frac{3}{4}(a^2-2ab+b^2)+\frac{5}{4}(a^2+2ab+b^2)}=\sqrt{\frac{3}{4}(a-b)^2+\frac{5}{4}(a+b)^2}`
`≥\sqrt{\frac{5}{4}(a+b)^2}=\frac{(a+b)\sqrt{5}}{2}`
Chứng minh tương tự:
`\sqrt{2b^2+bc+2c^2}≥\frac{(b+c)\sqrt{5}}{2}`
`\sqrt{2c^2+ca+2a^2}≥\frac{(a+c)\sqrt{5}}{2}`
`⇒P=\sqrt{2a^2+ab+2b^2}+\sqrt{2b^2+bc+2c^2}+\sqrt{2c^2+ca+2a^2}`
`≥\frac{(a+b)\sqrt{5}}{2}+\frac{(b+c)\sqrt{5}}{2}+\frac{(a+c)\sqrt{5}}{2}`
`=(a+b+c)\sqrt{5}=2019\sqrt{5}`
Dấu bằng xảy ra
$\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\\a+b+c=2019\end{cases}⇔a=b=c=673$
