Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt $: x = \sqrt[]{a² + b²} > 0; y = \sqrt[]{b² + c²} > 0; z = \sqrt[]{c² + a²} > 0$
$ x + y + z = 2020 $
$ ⇒ a² = \frac{1}{2}(z² + x² - y²); b² = \frac{1}{2}(x² + y² - z²); c² = \frac{1}{2}(y² + z² - x²)$
$ b + c ≤ \sqrt[]{2(b² + c²)} = \sqrt[]{2}y ⇒ \frac{a²}{b + c} ≥ \frac{z² + x² - y²}{2\sqrt[]{2}y}$
Tương tự $ : \frac{b²}{c + a} ≥ \frac{x² + y² - z²}{2\sqrt[]{2}z}; \frac{c²}{a + b} ≥ \frac{y² + z² - x²}{2\sqrt[]{2}x}$
Thay vào biểu thức của $P:$
$ 2\sqrt[]{2}P ≥ \frac{z² + x² - y²}{y} + \frac{x² + y² - z²}{z} + \frac{y² + z² - x²}{x}$
$ = \frac{z² + x²}{y} + \frac{x² + y²}{z} + \frac{y² + z²}{x} - (x + y + z)$
$ ≥ \frac{(z + x)²}{2y} + \frac{(x + y)²}{2z} + \frac{(y + z)²}{2x} - 2020$
$ ≥ \frac{(2020 - y)²}{2y} + \frac{(2020 - z)²}{2z} + \frac{(2020 - x)²}{2x} - 2020$
$ = \frac{2020²}{2}(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) - 3.2020 + \frac{1}{2}(x + y + z) - 2020$
$ = \frac{2020}{2}(x + y + z)(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) + \frac{1}{2}.2020 - 4.2020$
$ ≥ \frac{9}{2}.2020 + \frac{1}{2}.2020 - 4.2020 = 2020$
$ ⇒ P ≥ \frac{2020}{2\sqrt[]{2}} = 505\sqrt[]{2} ⇔ a = b = c = \frac{1010\sqrt[]{2}}{3}$
