Giải thích các bước giải:
Theo bất đẳng thức $Co-si$:
$\frac{a^3}{a^3+b^2}=1-\frac{b^2}{a^3+b^2} \geq 1- \frac{b^2}{2.a\sqrt[]{a}.b } =1-\frac{b}{2.a\sqrt[]{a}} $
Chứng minh tương tự:
$⇒\frac{b^3}{b^3+c^2} \geq 1-\frac{c}{2.b\sqrt[]{b}} $
$⇒\frac{c^3}{c^3+a^2} \geq 1-\frac{a}{2.c\sqrt[]{c}} $
Cộng các vế trên:
$⇒VT ≥ 3-(\frac{a}{2.c\sqrt[]{c}}+\frac{b}{2.a\sqrt[]{a}}+\frac{c}{2.b\sqrt[]{b}})$
Mà ta có: $\frac{a}{2.c\sqrt[]{c}}+\frac{b}{2.a\sqrt[]{a}}+\frac{c}{2.b\sqrt[]{b}} \leq \frac{1}{4}.(\frac{b}{a^2}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b^2}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c^2}+\frac{a}{c})$
Và ta có:
$\frac{1}{4}.(\frac{b}{a^2}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b^2}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c^2}+\frac{a}{c}) \geq \frac{1}{4}.(3+3) =\frac{3}{2}$
(Chỉ là áp dụng $Co-si$ cho 3 số dương và $abc \leq 1$ ở đề bài )
$⇒VT ≥3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2} $
->Điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c=1$
