Đáp án: `P_{max}=\frac{3}{2}⇔a=b=c=1`
Giải thích các bước giải:
Mệt =='
Từ $ab+bc+ca=3abc$
`⇒\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3`
`\frac{a^2}{c(c^2+a^2)}=\frac{(a^2+c^2)-c^2}{c(c^2+a^2)}`
`=\frac{1}{c}-\frac{c}{c^2+a^2}≤\frac{1}{c}-\frac{c}{2ac}=\frac{1}{c}-\frac{1}{2a}`
Tương tự:
`\frac{b^2}{a(a^2+b^2)}≤\frac{1}{a}-\frac{1}{2b}`
`\frac{c^2}{b(b^2+c^2)}≤\frac{1}{b}-\frac{1}{2c}`
`⇒P≤\frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{3}{2}`
Dấu bằng xảy ra $⇔a=b=c=1$
