$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} a,b,c >0\ và\ ab+bc+ca=1\ \\ CMR\ \sqrt{a^{2} +1} +\sqrt{b^{2} +1} +\sqrt{c^{2} +1} \leqslant 2( a+b+c) \ \\ ta\ có\ :\ ab+bc+ca=1\ \\ Do\ đó\ :\ a^{2} +1=ab+bc+ca+a^{2} =b( a+c) +a( c+a) =( a+c)( a+b) \ \\ b^{2} +1=ab+bc+ca+b^{2} =a( b+c) +b( b+c) =( b+c)( a+b) \ \\ c^{2} +1=ab+bc+ca+c^{2} =a( b+c) +c( b+c) =( a+c)( b+c) \ \\ PT\ \sqrt{( a+c)( a+b)} +\sqrt{( b+c)( a+b)} +\sqrt{( a+c)( b+c)} \ ( 1) \ \\ ÁP\ dụng\ bdt\ :\ \frac{a+b}{2} \ \geqslant \sqrt{ab} \ ta\ có\ :\ \\ \sqrt{( a+c)( a+b)} \leqslant \frac{a+c+a+b}{2} \ \\ \sqrt{( b+c)( a+b)} \leqslant \frac{b+c+a+b}{2} \ \\ \sqrt{( a+c)( b+c)} \leqslant \frac{a+c+b+c}{2} \ \\ Cộng\ vế\ theo\ vế\ ta\ được\ ( 1) \leqslant \frac{a+c+a+b+b+c+a+b+a+c+b+c}{2}\\ ( 1) \leqslant \frac{4( a+b+c)}{2} \leqslant 2( a+b+c) \ \rightarrow \ dpcm\ \end{array}$
