Ta có:
$a > 1$
$\to a - 1 > 0$
$\to a - 1 + 1 \geq 2\sqrt{a - 1}$
$\to \dfrac{a}{\sqrt{a - 1}}\geq 2$
$\to \dfrac{a^2}{a - 1}\geq 4$
Chứng minh tương tự, ta được:
$\dfrac{b^2}{b - 1}\geq 4$
$\dfrac{c^2}{c -1}\geq 4$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:
$\dfrac{a^2}{b - 1}+\dfrac{b^2}{c -1}+\dfrac{c^2}{a - 1}\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{a^2}{b - 1}\cdot\dfrac{b^2}{c -1}\cdot\dfrac{c^2}{a - 1}}\geq 3\sqrt[3]{4.4.4}=12$
Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = 2$
