+ $P = a^{2} + b^{3} + c^{3} + a^{2}(b + c) + b^{2}(c + a)+ c^{2}(a + b)$
$ = a^{2} + b^{3} + c^{3} + a^{2}(1 - a) + b^{2}(1 - b)+ c^{2}(1 - c)$
$ = a^{2} + b^{3} + c^{3} + a^{2} - a^{3} + b^{2} - b^{3} + c^{2} - c^{3}$
$ = a^{2} + b^{2} + c^{2}$.
+ Ta có: $\frac{P}{3} = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3} ≥ (\frac{a + b + c}{3})^{2} = \frac{1}{9}$
⇔$P ≥ 3. \frac{1}{9} = \frac{1}{3}$.
+ Vậy: giá trị nhỏ nhất của $P$ là $\frac{1}{3}$ khi và chỉ khi $a = b = c = \frac{1}{3}$.
