Đáp án:
BĐT Phụ
`x^2 + y^2 + z^2 ≥ xy + yz + zx`
thật vậy
`x^2 + y^2 + z^2 ≥ xy + yz + zx`
`<=> 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 ≥ 2xy + 2yz + 2zx`
`<=> 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx ≥ 0`
`<=> (x - y)^2 + (y - z)^2 + (z-x)^2 ≥ 0` (đúng)
Dấu "=" xảy ra `<=> x = y = z`
Áp dụng BĐT phụ ta có
`a^4 + b^4 + c^4`
`= (a^2)^2 + (b^2)^2 + (c^2)^2 ≥ a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2`
Cũng áp dụng BĐT phụ
`-> a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2`
`= (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 ≥ ab^2c + bc^2a + ba^2c = abc(a + b + c)`
Như vậy `-> a^4 + b^4 + c^4 ≥ abc(a + b + c)`
dấu "=" xảy ra `<=> a = b = c`
Áp dụng `-> a^4 + b^4 + c^4 - 3abc ≥ abc(a + b + c) - 3abc = 3abc - 3abc = 0`
Dấu "=" xảy ra `<=> a = b = c = 1`
Vậy GTNN của `a^4 + b^4 + c^4 - 3abc` là `0 <=> a = b = c = 1`
Giải thích các bước giải:
