Giải thích các bước giải:
+)TH1: Nếu $ab+bc+ca<0$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} + {c^2} = \left| {ab + bc + ca} \right|\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = - \left( {ab + bc + ca} \right)\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc + ca = 0\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) = ab + bc + ca\\
\Leftrightarrow {\left( {a + b + c} \right)^2} = ab + bc + ca\\
\Rightarrow ab + bc + ca \ge 0,\forall a,b,c
\end{array}$
Như vậy vô lý nên TH1 này không thỏa mãn điều kiện đề.
+) TH2: Nếu $ab+bc+ca\ge 0$
Khi đó:
$\begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} + {c^2} = \left| {ab + bc + ca} \right|\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = 0\\
\Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = 0\\
{\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0,\forall a,b,c
\end{array}$
Như vậy dấu bằng xảy ra
$ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {b - c} \right)^2} = {\left( {c - a} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = b = c$
Vậy ta có đpcm.
