f) $\dfrac{a^2}{4} + b^2 + c^2 \geq ab - ac + 2bc$
$\to \left(\dfrac a2\right)^2 + b^2 + c^2 - 2\cdot\dfrac a2 \cdot b + 2\cdot\dfrac a2\cdot c - 2bc \geq 0$
$\to \left(\dfrac a2 - b + c\right)^2 \geq 0$ (luôn đúng)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
i) $\dfrac1a +\dfrac1b +\dfrac1c \geq \dfrac{1}{\sqrt{ab}} +\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ca}}$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:
$\dfrac1a +\dfrac1b \geq \dfrac{2}{\sqrt{ab}}$
$\dfrac1b +\dfrac1c \geq \dfrac{2}{\sqrt{bc}}$
$\dfrac1c +\dfrac1a \geq\dfrac{2}{\sqrt{ca}}$
Cộng vế theo vế ta được:
$2\cdot\left(\dfrac1a +\dfrac1b +\dfrac1c\right) \geq 2\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{ab}} +\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ca}}\right)$
$\to \dfrac1a +\dfrac1b +\dfrac1c \geq \dfrac{1}{\sqrt{ab}} +\dfrac{1}{\sqrt{bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{ca}}$
$\to$ bất đẳng thức được chứng minh
k) Tương tự câu i)
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được:
$a + b \geq 2\sqrt{ab}$
$b + c \geq 2\sqrt{bc}$
$c + a \geq 2\sqrt{ca}$
Cộng vế theo vế ta được:
$2(a + b + c) \geq 2(\sqrt{ab} +\sqrt{bc} + \sqrt{ca})$
$\to a + b + c \geq \sqrt{ab} +\sqrt{bc} + \sqrt{ca}$
