Cho \(a,\,b,\,c\) dương và: \({a^4}{b^4} + {b^4}{c^4} + {c^4}{a^4} = 3{a^4}{b^4}{c^4}.\) Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{{a^3}b + 2{c^2} + 1}} + \frac{1}{{{b^3}c + 2{a^2} + 1}} + \frac{1}{{{c^3}a + 2{b^2} + 1}} \le \frac{3}{4}.\)A.B.C.D.

ngnhu1709

2 năm trước

Cho \(a,\,b,\,c\) dương và: \({a^4}{b^4} + {b^4}{c^4} + {c^4}{a^4} = 3{a^4}{b^4}{c^4}.\) Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{{{a^3}b + 2{c^2} + 1}} + \frac{1}{{{b^3}c + 2{a^2} + 1}} + \frac{1}{{{c^3}a + 2{b^2} + 1}} \le \frac{3}{4}.\)
A.
B.
C.
D.

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 17 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

khiem213244

Đáp án đúng:
Giải chi tiết:Ta sẽ áp dụng bất đẳng thức phụ sau là 1 biến thể của bất đẳng thức Cô-si :
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{{x + y}} \Leftrightarrow \frac{1}{{x + y}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right).\;\;\left( * \right)\)
Áp dụng vào bài toán ta có ngay :
\(\frac{1}{{{a^3}b + 2{c^2} + 1}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{{a^3}b + 1}} + \frac{1}{{2{c^2}}}} \right) \le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{1}{1} + \frac{1}{{{a^3}b}}} \right) + \frac{1}{{8{c^2}}} = \frac{1}{{16}}\left( {\frac{1}{{{a^3}b}} + \frac{2}{{{c^2}}} + 1} \right)\)
Hơn nữa theo bất đẳng thức Cô-si ta có :
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{a^4}}} + \frac{1}{{{a^4}}} + \frac{1}{{{a^4}}} + \frac{1}{{{b^4}}} \ge 4\sqrt[4]{{\frac{1}{{{a^{12}}{b^4}}}}} = 4\frac{1}{{{a^3}b}}\\\frac{1}{{{c^4}}} + 1 \ge 2\sqrt {\frac{1}{{{c^4}}}} = \frac{2}{{{c^2}}}\\ \Rightarrow \frac{1}{{{a^3}b + 2{c^2} + 1}} \le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{3}{{4{a^4}}} + \frac{1}{{4{b^4}}} + \frac{1}{{{c^4}}} + 2} \right).\end{array}\)
Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{{b^3}c + 2{a^2} + 1}} \le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{3}{{4{b^4}}} + \frac{1}{{4{c^4}}} + \frac{1}{{{a^4}}} + 2} \right)\\\frac{1}{{{c^3}a + 2{b^2} + 1}} \le \frac{1}{{16}}\left( {\frac{3}{{4{c^4}}} + \frac{1}{{4{a^4}}} + \frac{1}{{{b^4}}} + 2} \right)\end{array} \right.\)
Cộng vế với vế ta có : \(VT \le \frac{1}{{16}}\left[ {2\left( {\frac{1}{{{a^4}}} + \frac{1}{{{b^4}}} + \frac{1}{{{c^4}}}} \right) + 6} \right] = \frac{3}{4}.\)
(Do theo giả thiết ta dễ dàng suy ra : \(\frac{1}{{{a^4}}} + \frac{1}{{{b^4}}} + \frac{1}{{{c^4}}} = 3.\)).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{{a^4}}} = 1\\\frac{1}{{{b^4}}} = 1\\\frac{1}{{{c^4}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 1.\)
Vậy \(\frac{1}{{{a^3}b + 2{c^2} + 1}} + \frac{1}{{{b^3}c + 2{a^2} + 1}} + \frac{1}{{{c^3}a + 2{b^2} + 1}} \le \frac{3}{4}.\)

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Trong những nhan đề sau đây, nhan đề nào phù hợp nhất với đoạn văn bản trên: A.Hai đức tính của con người B.Đức tính của con người hiện đại C.Đức tính nhân văn và đức tính lí lịch D.Xu hướng đức tính của con người thời đại
A.
B.
C.
D.

Chọn ý cột A nối với ý cột B sao cho thích hợp và ghi ra giấy thi:
A.
B.
C.
D.

Lập bảng thống kê về phong trào khởi nghĩa của nông dân nửa đầu thế kỉ XIX và nêu nhận xét.
A.
B.
C.
D.

Tại sao nhân dân hăng hái tham gia khởi nghĩa Tây Sơn ngay từ đầu?
A.
B.
C.
D.

Nhận xét về bài thơ Tây Tiến có ý kiến cho rằng: “Bài thơ là nỗi niềm hoài niệm của Quang Dũng về con đường hành quân giữa núi rừng Tây Bắc hùng vĩ, dữ dội nhưng cũng thật thơ mộng trữ tình”. Nhưng ý kiến khác lại khẳng định: “Bài thơ là những hồi ức của nhà thơ về hình ảnh người chiến binh những năm đầu kháng chiến chống Pháp gian khổ nhưng rất đỗi hào hoa, lãng mạn”.
Bằng việc cảm nhận vẻ đẹp của thiên nhiên và hình tượng người lính trong bài thơ Tây Tiến của Quang Dũng, hãy làm sáng tỏ hai nhận định trên.
A.
B.
C.
D.

Viết đoạn văn (khoảng 200 chữ) trình bày quan điểm của anh/chị về ý kiến trích dẫn trong phần đọc hiểu “Hầu hết chúng ta sẽ nói rằng những đức tính nhân văn quan trọng hơn những đức tính lí lịch”.
A.
B.
C.
D.

Theo anh/chị, bức hình trên minh họa cho đức tính nào trong đoạn văn bản? Vì sao?
A.
B.
C.
D.

Vì sao nói sau khi cách mạng tháng Tám thành công, nước Việt Nam Dân chủ Cộng hòa lâm vào tình thế “ngàn cân treo sợi tóc” ?
A.
B.
C.
D.

Trình bày ý nghĩa lịch sử của cuộc kháng chiến chống thực dân Pháp (1945-1954).
A.
B.
C.
D.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến