Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`P=(6-5abc)/(a+b+c)`
Dự đoán điểm rơi tại `(a,b,c)=(1,1,0)` và các hoán vị
`=>P<=3`
Nên ta cần chứng minh `P=(6-5abc)/(a+b+c)<=3`
Biến đổi lại
`=>6-5abc<=3(a+b+c)`
`<=>a+b+c+5/3 abc>=2`
Ta có `ab+bc+ca=1`
`=>c=(1-ab)/(a+b)`
Thay vào ta có
`a+b+(1-ab)/(a+b)+5/3 ab (1-ab)/(a+b)>=2`
`=>(a+b)^2 +(1-ab)+5/3 ab.(1-ab)>=2(a+b)`
`=>(a+b)^2-2(a+b)+1 +(2ab-5a^2b^2)/3>=0`
`=>(a+b-1)^2+[ab(2-5ab)]/3>=0`
Do vai trò `a,b,c` như nhau,giả sử `a<=b<=c`
`=>ab<=bc,ab<=ca`
`=>ab+bc+ca>=3ab`
`=>1>=3ab`
`=>ab<=1/3`
`=>2-5ab>0`
Ta lại có `a,b>=0=>(a+b-1)^2+[ab(2-5ab)]/3>=0` Luôn đúng với `∀a,b`
Dấu `=` xảy ra `<=>(a+b-1)^2=0,ab=0`
Mà `ab+ac+bc=1`
`=>(a,b,c)=(0,1,1)`
Vậy $Max_{P}$`=3<=>(a,b,c)=(0,1,1)` và các hoán vị
