Ta chứng minh BĐT phụ : `a/(a^2 + 1) ≥ (-3a)/25 + 16/25`
`<=> (25a - 16a^2 + 3a - 16 + 3a^3)/(25a^2 + 25) ≥ 0`
`<=> (3a^3 - 16a^2 + 28a - 16)/(25a^2 + 25) ≥ 0`
Vì `25a^2 + 25 > 0` do `a > 0` nên để `BĐT đúng thì :
`3a^3 - 16a^2 + 28a - 16 ≥ 0`
`<=> (3a^3 - 4a^2 - 12a^2 + 16a + 12a - 16) ≥ 0`
`<=> a^2(3a - 4) - 4a . (3a - 4) + 4 . (3a - 4) ≥ 0`
`<=> (3a - 4)(a^2 - 4a + 4) = (3a - 4)(a- 2)^2 ≥ 0`
BĐT luôn đúng với `a ≥ 4/3`
Tương tự :
`b/(b^2 + 1) ≥ (-3b)/25 + 16/25`
`c/(c^2 + 1) ≥ (-3c)/25 + 16/25`
Đặt `A = a/(a^2 + 1) + b/(b^2+1) + c/(c^2+1)`
`<=> A ≥ (-3a)/25 + 16/25 + (-3b)/25 + 16/25 + (-3c)/25 + 16/25`
`<=> A ≥ (48 - 3 . (a+b+c))/25 = (48 - 3 . 6)/25 = 30/25 = 6/5`
`=>` Đpcm.
