Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Trước hết, bạn chứng minh bất đẳng thức sau:
`\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}+\frac{z^2}{p}≥\frac{(x+y+z)^2}{m+n+p}(x;y;z;m;n;p>0)(*)`
Chứng minh: Bạn tự chứng minh bất đẳng thức sau bằng quy đồng:
`\frac{X^2}{A}+\frac{Y^2}{B}≥\frac{(X+Y)^2}{A+B}(X;Y;A;B>0)`
Khi đó, áp dụng bất đẳng thức trên $2$ lần liên tiếp ta được bất đẳng thức `(*)`
Dấu bằng xảy ra `⇔\frac{x}{m}=\frac{y}{n}=\frac{z}{p}`
Trở lại bài toán:
Ta có: $abc=1⇒a^2b^2c^2=1$
Ta có: `\frac{1}{(b+c)a^3}+\frac{1}{(a+c)b^3}+\frac{1}{(a+b)c^3}`
`=\frac{a^2b^2c^2}{(b+c)a^3}+\frac{a^2b^2c^2}{(a+c)b^3}+\frac{a^2b^2c^2}{(a+b)c^3}`
`=\frac{b^2c^2}{(b+c)a}+\frac{a^2c^2}{(a+c)b}+\frac{a^2b^2}{(a+b)c}`
`≥\frac{(bc+ac+ab)^2}{(b+c)a+(a+c)b+(a+b)c}` (áp dụng `(*)`)
`=\frac{1}{2}(bc+ac+ab)`
$≥\large\frac{1}{2} .3\sqrt[3]{ab.ac.bc}$
$=\large\frac{3}{2} \sqrt[3]{1}$
`=\frac{3}{2}(đpcm)`
Dấu bằng xảy ra $⇔a=b=c=1$
