Đáp án:
Giải thích các bước giải:
(+) Ta có: a,b,c > 0 nên a+b < a + b + c ⇒ $\frac{a}{a+ b}$ > $\frac{a}{a+b+c}$ (1)
Tương tự, ta cũng có: $\frac{b}{b+ c}$ > $\frac{b}{b+c +a}$ (2)
$\frac{c}{c+a}$ > $\frac{c}{c+a+b}$ (3)
Cộng (1), (2) và (3) về theo vế ta được:
$\frac{a}{a+ b}$ + $\frac{b}{b+ c}$ + $\frac{c}{c+a}$ > $\frac{a}{a+b+c}$ + $\frac{b}{b+c +a}$ + $\frac{c}{c+a+b}$
⇒ $\frac{a}{a+ b}$ + $\frac{b}{b+ c}$ + $\frac{c}{c+a}$ > $\frac{a+b+c}{a+b+c}$=1
Hay: 1< $\frac{a}{a+ b}$ + $\frac{b}{b+ c}$ + $\frac{c}{c+a}$ (*)
(+) Ta có: a,b,c > 0 ⇒ a< a+b ⇒ $\frac{a}{a+b}$ < 1=$\frac{c}{c}$ ⇒ $\frac{a}{a+b}$ < $\frac{a+c}{a+b+c}$ (4)
Tương tự : $\frac{b}{b+c}$ < $\frac{b+a}{b+c+a}$ (5); $\frac{c}{c+a}$ < $\frac{c+b}{c+a+b}$ (6)
Lấy (4) cộng (5) cộng (6) vế theo vế ta được: $\frac{a}{a+b}$+$\frac{b}{b+c}$ + $\frac{c}{c+a}$ < $\frac{a+c+b+a+c+b}{a+b+c}$
⇒ $\frac{a}{a+b}$+$\frac{b}{b+c}$ + $\frac{c}{c+a}$ < $\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}$ =2
Hay: $\frac{a}{a+b}$+$\frac{b}{b+c}$ + $\frac{c}{c+a}$ < 2 (**)
Từ (*) và (**) ta có: 1< $\frac{a}{a+b}$+$\frac{b}{b+c}$ + $\frac{c}{c+a}$ < 2
Do đó: $\frac{a}{a+b}$+$\frac{b}{b+c}$ + $\frac{c}{c+a}$ không là số nguyên.(đpcm)
