Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Bài toán phức tạp thật.
Ta có:
$3x^3+3y^3+3z^3=(x^3+x^3+1)+(y^3+y^3+1)+(z^3+z^3+1) \geq 3x^2+3y^2+3z^2$
$⇒x^3+y^3+z^3 \geq x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx$
$⇒xy+yz+zx \leq 3 $
$⇒A=xy+yz+zx-xyz+2(xy+yz+zx) \leq xy+yz+zx-xyz+6$ (1)
Áp dụng BĐT: $xyz \geq (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)$
$⇔x^3+y^3+z^3+3xyz \geq x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2$
$⇔3+3xyz \geq x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2$
$⇔6+3xyz \geq (x^2y+xy^2+1)+(y^2z+yz^2+1)+(z^2x+zx^2+1)$
AM-GM cho từng bộ 3 số ở vế phải ta được:
$⇔6+3xyz \geq 3xy+3yz+3xz$
$⇔2+xyz \geq xy+yz+zx$
$⇔xy+yz+zx-xyz \leq 2$ (2)
Từ (1) và (2) $⇒A \leq 2+6=8$
$A_{max}=8$ khi $x=y=z=1$
