Cho a, b, c là ba số thực không đồng thời bằng 0 thỏa mãn: (a + b + c)2 = 2(a2 + b2 + c2). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: P = . A.MaxP = ; MinP = 1 B.MaxP = ; MinP = -2 C.MaxP = ; MinP = 1 D.MaxP = ; MinP = 1
Đáp án đúng: D Giải chi tiết:Ta có (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) ⇔ 2( a2 + b2 + c2) = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) ⇔ ab + bc + ca = (a2 + b2 + c2) = (a + b + c)2 Khi đó P = = 4 + 4 + 4 Đặt x = ; y = ; z = Từ phép đặt ta có : ⇔ ⇔ (*) 16P = x3 + y3 + z3 = x3 + (y + z)3 – 3yx(y + z) = 3x3 - 12x2 + 12x + 16 P = x3 - x2 + x + 1 Từ (*) để tồn tại y và z khi va chỉ khi: (4 – x )2 ≥ 4(4 - 4x + x2 ) ⇔ x ∈ [0; ] Như vậy bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất P = x3 - x2 + x + 1 trên x ∈ [0; ] P’ = x2 – x + = 0 ⇔ x = hoặc x = 2; P(0) = 1; P () = ; P(2) = 1; P() = 1 nên * MaxP = tại x = . * MinP = 1 tại x = 0; x = 2; x = .