`\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}=\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}`
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương `\frac{a}{c}` và `\frac{c}{a}` (vì `a`, `c` là các số dương) có:
`\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\geq2\sqrt{\frac{a}{c}.\frac{c}{a}}=2.1=2`
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương `\frac{b}{c}` và `\frac{c}{b}` (vì `b`, `c` là các số dương) có:
`\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\geq2\sqrt{\frac{b}{c}.\frac{c}{b}}=2.1=2`
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương `\frac{a}{b}` và `\frac{b}{a}` (vì `a`, `b` là các số dương) có:
`\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2\sqrt{\frac{a}{c}.\frac{c}{a}}=2.1=2`
`⇒\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2+2+2=6`
`⇒\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geq6`
